{\centering \nonumsubsection{B \hspace{1em} 组}}

\begin{xiaotis}
\setcounter{cntxiaoti}{17}

\xiaoti{求证：}
\begin{xiaoxiaotis}

    \xiaoxiaoti{$1! \cdot 2! \cdot 3! \cdot \, \cdots \, \cdot n! = \dfrac{(n!)^{n-1}}{3 \cdot 4^2 \cdot 5^3 \cdot \, \cdots \, \cdot n^{n-2}}$；}

    \xiaoxiaoti{$C_{n-1}^m + C_{n-2}^m + C_{n-3}^m + \cdots + C_{m+1}^m + C_m^m = C_n^{m+1}$。}

\end{xiaoxiaotis}


\xiaoti{}%
\begin{xiaoxiaotis}%
    \xiaoxiaoti[\xxtsep]{由数字  $1,\, 2,\, 3,\, 4,\, 5$ 可以组成多少个没有重复数字并且能被 $5$ 整除的自然数？}

    \xiaoxiaoti{由数字  $1,\, 2,\, 3,\, 4,\, 5$ 可以组成多少个没有重复数字，并且比 $30000$ 小的自然数？}

\end{xiaoxiaotis}


\xiaoti{用数字 $0,\, 1,\, 2,\, 3,\, 4,\, 5$ 组成没有重复数字的数：}
\begin{xiaoxiaotis}

    \xiaoxiaoti{能够组成多少个六位奇数？}

    \xiaoxiaoti{能够组成多少个大于 $201345$ 的自然数？}

\end{xiaoxiaotis}


\xiaoti{$8$ 个不同的元素排成一行：}
\begin{xiaoxiaotis}

    \xiaoxiaoti{其中某 $2$ 个元素必须排在一起，有多少种排法？}

    \xiaoxiaoti{其中某 $2$ 个元素不能排在一起，有多少种排法？}

    \xiaoxiaoti{其中某 $4$ 个元素要排在一起，另外 $4$ 个元素也要排在一起，有多少种排法？}

\end{xiaoxiaotis}


\xiaoti{}%
\begin{xiaoxiaotis}%
    \xiaoxiaoti[\xxtsep]{平面内有两组平行线，一组有 $m$ 条，另一组有 $n$ 条。这两组平行线相交，可以构成多少个平行四边形？}

    \xiaoxiaoti{空间有三组平行平面，第一组有 $m$ 个，第二组有 $n$ 个，第三组有 $l$ 个。
        不同两组的平面都相交，且交线不都平行，可构成多少个平行六面体？}

\end{xiaoxiaotis}


\xiaoti{}%
\begin{xiaoxiaotis}%
    \xiaoxiaoti[\xxtsep]{$8$ 个不同的元素排成前后两排，每排 $4$ 个元素，有多少种排法？}

    \xiaoxiaoti{$8$ 个不同的元素排成前后两排，每排 $4$ 个元素，其中某 $2$ 个元素要排在前排，
    某 $1$ 个元素要排在后排，有多少种排法？}

\end{xiaoxiaotis}


\xiaoti{}%
\begin{xiaoxiaotis}%
    \xiaoxiaoti[\xxtsep]{在 $\left( x\sqrt{x} + \dfrac{1}{x^4} \right)^n$ 的展开式中，
        第 $3$ 项的二项式系数比第 $2$ 项的二项式系数大 $44$，求展开式中不含字母 $x$ 的项。}

    \xiaoxiaoti{在 $(1 + x)^3 + (1 + x)^4 + \cdots + (1 + x)^{n+2}$ 的展开式中，
        求含 $x^2$ 项的系数。}

\end{xiaoxiaotis}


\xiaoti{证明：}
\begin{xiaoxiaotis}

    \xiaoxiaoti{$(C_n^0)^2 + (C_n^1)^2 + \cdots + (C_n^n)^2 = \dfrac{(2n)!}{n! \cdot n!}$，\\
        （提示：利用 $(1 + x)^n \cdot (1 + x)^n = (1 + x)^{2n}$，并且比较等式两边的展开式中
        含 $x^n$ 项的二项式系数）；
    }

    \xiaoxiaoti{$C_n^1 + 2C_n^2 + 3C_n^3 + \cdots + nC_n^n = n \cdot 2^{n-1}$。}

\end{xiaoxiaotis}

\end{xiaotis}

